Questão orientadora

Até que ponto as frequências observadas nos resultados históricos da Mega-Sena são compatíveis com as probabilidades calculadas a partir de um modelo em que todos os sorteios de seis dezenas entre 01 e 60 são igualmente prováveis?

Base de dados e modelo probabilístico

Nesta atividade serão utilizados os resultados oficiais dos concursos da Mega-Sena, divulgados pela Caixa Econômica Federal. Em cada concurso são sorteadas seis dezenas distintas dentre as dezenas 01 a 60.

A base contém 3.048 concursos realizados entre 11/03/1996 e 23/08/2026.

Para cada concurso estão disponíveis o número do concurso, a data e as seis dezenas sorteadas.

Fonte: Loterias CAIXA – Mega-Sena

https://loterias.caixa.gov.br/Paginas/mega-sena.aspx

API utilizada pelo portal:

https://servicebus2.caixa.gov.br/portaldeloterias/api/megasena

Considerando o modelo em que todas as combinações de seis dezenas são equiprováveis,

\[ |\Omega| = \binom{60}{6} = 50.063.860. \]

A atividade compara probabilidades calculadas nesse modelo com frequências observadas nos concursos históricos.

Exploração inicial

Antes de analisar os dados, responda utilizando apenas o modelo probabilístico.

  1. Qual é a probabilidade de uma determinada dezena, por exemplo a dezena 10, aparecer em um sorteio?

  2. Qual é a probabilidade de exatamente três das seis dezenas sorteadas serem pares?

  3. Qual é a probabilidade de todas as seis dezenas sorteadas serem pares?

  4. As combinações

    \[ \{01,02,03,04,05,06\} \qquad\text{e}\qquad \{07,19,28,36,44,59\} \]

    têm a mesma probabilidade? Justifique.

  5. Em uma sequência de \(n\) concursos, quantas vezes você esperaria, aproximadamente, que uma determinada dezena aparecesse?

Frequência observada das 60 dezenas

Para uma dezena fixada,

\[ P(\text{dezena sorteada}) = \frac{\binom{59}{5}}{\binom{60}{6}} = \frac{6}{60} = 0{,}10. \]

Portanto, nos 3.048 concursos, o número esperado de aparições de uma dezena específica é

\[ 3.048 \times 0{,}10 = 304,8. \]

A dezena 10 apareceu em 356 concursos, correspondendo à frequência

\[ \frac{356} {3.048} \approx 11,68\%. \]

O gráfico abaixo apresenta as frequências observadas das 60 dezenas.

A linha tracejada representa a probabilidade teórica de 10%. A faixa cinza foi construída por meio de 2.000 simulações de forma que, sob o modelo, em cerca de 95% das simulações as frequências das 60 dezenas ficassem simultaneamente dentro da faixa.

A região obtida foi

\[ 8,22\% \leq \widehat p_j \leq 11,78\%, \qquad j=1,\ldots,60. \]

A maior frequência observada foi a da dezena 10:

\[ \frac{356} {3.048} \approx 11,68\%. \]

A menor frequência observada foi a da dezena 26:

\[ \frac{250} {3.048} \approx 8,20\%. \]

A dezena 26 ficou ligeiramente abaixo do limite inferior da faixa. Isso não significa, por si só, que o modelo seja inadequado: mesmo quando o modelo é correto, em cerca de 5% das repetições sob o modelo, pelo menos uma das 60 frequências ficaria fora dessa faixa.

Outro exemplo de comparação entre o modelo e os dados

Considere o evento em que todas as seis dezenas sorteadas pertencem ao conjunto \(\{1,\ldots,30\}\). Sob o modelo equiprovável,

\[ P(\text{todas as dezenas}\leq30) = \frac{\binom{30}{6}} {\binom{60}{6}} \approx 1,19\%. \]

Nos 3.048 concursos analisados, esse evento ocorreu em 34 sorteios, correspondendo à frequência

\[ \frac{34} {3.048} \approx 1,12\%. \]

Assim, a probabilidade teórica é aproximadamente 1,19%, enquanto a frequência observada foi aproximadamente 1,12%.

Esse exemplo também mostra que eventos definidos de maneiras diferentes podem ter a mesma probabilidade. Por exemplo, “todas as dezenas são pares”, “todas as dezenas são ímpares” e “todas as dezenas são menores ou iguais a 30” exigem, em cada caso, que as seis dezenas pertençam inteiramente a um subconjunto fixado de 30 elementos.

Número de dezenas pares no sorteio

Se \(X\) representa o número de dezenas pares entre as seis sorteadas, então

\[ P(X=k) = \frac{ \binom{30}{k} \binom{30}{6-k} }{ \binom{60}{6} }, \qquad k=0,1,\ldots,6. \]

O gráfico compara, para todos os valores possíveis de \(k\), a distribuição prevista pelo modelo com as frequências observadas nos 3.048 concursos.

Por exemplo,

\[ P(X=3) = \frac{\binom{30}{3}\binom{30}{3}} {\binom{60}{6}} \approx 32,93\%. \]

A frequência observada foi

\[ 30,77\%. \]

Nos casos extremos,

\[ P(X=0) = P(X=6) = \frac{\binom{30}{6}} {\binom{60}{6}} \approx 1,19\%. \]

As frequências observadas foram aproximadamente

  • 1,28% para seis dezenas ímpares;
  • 1,25% para seis dezenas pares.

Mínimo, máximo e média das dezenas sorteadas

Cada concurso também pode ser resumido por

\[ L=\min(X_1,\ldots,X_6), \qquad U=\max(X_1,\ldots,X_6), \qquad \overline X=\frac{X_1+\cdots+X_6}{6}. \]

Menor dezena sorteada

Para que \(L=l\), a dezena \(l\) deve estar presente e as outras cinco devem ser escolhidas entre \(l+1,\ldots,60\). Logo,

\[ P(L=l) = \frac{\binom{60-l}{5}} {\binom{60}{6}}, \qquad l=1,\ldots,55. \]

Segundo o modelo, a moda é \(L=1\), com probabilidade

10,00%.

Nos dados, a moda observada também foi 1, com frequência

\[ \frac{297} {3.048} \approx 9,74\%. \]

O maior valor observado para o mínimo foi 50.

Maior dezena sorteada

Analogamente,

\[ P(U=u) = \frac{\binom{u-1}{5}} {\binom{60}{6}}, \qquad u=6,\ldots,60. \]

Segundo o modelo, a moda é \(U=60\), com probabilidade

10,00%.

Nos dados, a moda observada também foi 60, com frequência

\[ \frac{295} {3.048} \approx 9,68\%. \]

O menor valor observado para o máximo foi 22.

Há uma simetria natural entre as duas distribuições:

\[ P(L=l)=P(U=61-l). \]

A transformação

\[ x\longmapsto61-x \]

troca valores pequenos por grandes e leva cada combinação possível em outra combinação possível. Por isso, a distribuição teórica do máximo é a imagem espelhada da distribuição teórica do mínimo.

Média das seis dezenas

Como a média das dezenas \(1,\ldots,60\) é

\[ \frac{1+60}{2}=30{,}5, \]

temos

\[ E(\overline X)=30{,}5. \]

Para uma dezena escolhida ao acaso em \(\{1,\ldots,60\}\),

\[ \operatorname{Var}(X) = \frac{60^2-1}{12}. \]

Como o sorteio é feito sem reposição,

\[ \operatorname{Var}(\overline X) = \frac{\operatorname{Var}(X)}{6} \frac{60-6}{60-1}, \]

de modo que

\[ \operatorname{DP}(\overline X) \approx 6,76. \]

Os valores observados foram muito próximos dos previstos pelo modelo:

Medida Modelo teórico Dados observados
Média 30,5 30,5
Desvio-padrão 6,76 6,66

A menor média observada foi 10,5 e a maior foi 55,17.

Padrões que parecem pouco aleatórios

Combinações específicas

Considere as combinações

\[ \{01,02,03,04,05,06\} \qquad\text{e}\qquad \{07,19,28,36,44,59\}. \]

Sob o modelo equiprovável, qualquer combinação específica tem probabilidade

\[ P(\text{combinação específica}) = \frac{1}{\binom{60}{6}} = \frac{1} {50.063.860}. \]

Portanto, as duas combinações têm exatamente a mesma probabilidade, embora uma delas possa parecer visualmente menos aleatória.

Nos 3.048 concursos analisados,

  • \(\{01,02,03,04,05,06\}\) ocorreu 0 vezes;
  • \(\{07,19,28,36,44,59\}\) ocorreu 0 vezes.

Dezenas consecutivas

A presença de números consecutivos também pode parecer pouco aleatória. Para calcular sua probabilidade, é mais simples considerar inicialmente o evento complementar.

Se

\[ 1\leq x_1<\cdots<x_6\leq60 \]

não contém números consecutivos, a transformação

\[ y_i=x_i-(i-1) \]

produz uma escolha arbitrária de seis números entre 1 e 55. Assim,

\[ P(\text{nenhum par consecutivo}) = \frac{\binom{55}{6}} {\binom{60}{6}}. \]

Logo,

\[ P(\text{pelo menos um par consecutivo}) = 1- \frac{\binom{55}{6}} {\binom{60}{6}} \approx 42,09\%. \]

Nos dados históricos, houve pelo menos um par de dezenas consecutivas em 1279 dos 3.048 concursos.

A frequência observada foi aproximadamente

\[ 41,96\%. \]

Esse exemplo mostra que um padrão visualmente marcante pode ter probabilidade relativamente alta sob o modelo equiprovável.

Apostas com mais de seis dezenas

Uma aposta da Mega-Sena pode conter mais de seis dezenas. Isso introduz duas questões diferentes:

  1. qual é a probabilidade de uma aposta de \(m\) dezenas conter 4, 5 ou 6 das dezenas sorteadas?
  2. quantas combinações premiadas estão contidas em uma aposta múltipla?

Probabilidade de 4, 5 ou 6 acertos

Suponha que sejam escolhidas \(m\) dezenas e que \(X\) represente quantas delas aparecem entre as seis sorteadas.

Para obter exatamente \(k\) acertos,

\[ P(X=k) = \frac{ \binom{m}{k} \binom{60-m}{6-k} }{ \binom{60}{6} }. \]

Para apostas contendo 6, 7, 8 ou 10 dezenas:

Dezenas apostadas 4 acertos 5 acertos 6 acertos
6 0,04288% 0,0006472% 0,000001997%
7 0,09634% 0,0022232% 0,000013982%
8 0,18540% 0,0058166% 0,000055929%
10 0,51384% 0,0251679% 0,000419464%

A probabilidade de acerto aumenta à medida que cresce o número de dezenas escolhidas.

Uma aposta múltipla contém várias apostas simples

Uma aposta com \(m\) dezenas contém

\[ \binom{m}{6} \]

combinações distintas de seis dezenas.

Para os valores considerados nesta atividade:

Dezenas apostadas Combinações simples Chance de Sena (1 em)
6 1 50.063.860
7 7 7.151.980
8 28 1.787.995
10 210 238.399

Assim,

\[ \binom{6}{6}=1,\qquad \binom{7}{6}=7,\qquad \binom{8}{6}=28,\qquad \binom{10}{6}=210. \]

Portanto, a probabilidade de a aposta conter todas as seis dezenas sorteadas é

\[ P(\text{Sena com }m\text{ dezenas}) = \frac{\binom{m}{6}} {\binom{60}{6}}. \]

A chance de Sena cresce exatamente na mesma proporção que o número de combinações simples contidas na aposta.

Se o custo de uma aposta múltipla for proporcional ao número de combinações simples que ela contém, então uma aposta de \(m\) dezenas custa \(\binom{m}{6}\) vezes o valor de uma aposta simples e também multiplica por \(\binom{m}{6}\) a probabilidade de Sena. Nesse sentido, não há ganho de probabilidade por unidade de custo apenas por concentrar várias combinações em uma única aposta múltipla.

Uma aposta que acerta a Sena também pode gerar Quinas e Quadras

Há agora uma segunda contagem.

Suponha que uma aposta de \(m\) dezenas contenha as seis dezenas efetivamente sorteadas. Entre as \(\binom{m}{6}\) combinações simples contidas nessa aposta, podemos perguntar quantas têm 6, 5 ou 4 acertos.

Se uma combinação interna tiver exatamente \(k\) acertos, devemos escolher \(k\) das seis dezenas sorteadas e completar a combinação com \(6-k\) das \(m-6\) dezenas restantes da aposta. Portanto,

\[ N_k = \binom{6}{k} \binom{m-6}{6-k}. \]

Para a Sena,

\[ N_6 = \binom{6}{6} \binom{m-6}{0} = 1. \]

Para a Quina,

\[ N_5 = \binom{6}{5} \binom{m-6}{1} = 6(m-6). \]

Para a Quadra,

\[ N_4 = \binom{6}{4} \binom{m-6}{2}. \]

Dezenas apostadas Sena Quinas Quadras
6 1 0 0
7 1 6 0
8 1 12 15
10 1 24 90

Assim, uma aposta simples de seis dezenas que acerta a Sena contém apenas uma combinação premiada: a própria Sena.

Já uma aposta múltipla pode produzir outros prêmios. Por exemplo, se uma aposta de oito dezenas contém as seis dezenas sorteadas, suas 28 combinações simples incluem

\[ 1 \text{ Sena}, \qquad 12 \text{ Quinas}, \qquad 15 \text{ Quadras}. \]

Essa contagem é diferente da probabilidade de obter exatamente 4, 5 ou 6 acertos. A primeira pergunta é feita antes do sorteio e diz respeito ao número de dezenas sorteadas que pertencem à aposta. A segunda é feita condicionalmente ao resultado da aposta múltipla e conta quantas das combinações simples contidas nela recebem cada tipo de premiação.

Verificando a compreensão

As questões a seguir têm o objetivo de verificar a compreensão das ideias, resultados e interpretações apresentados ao longo do texto.

  1. No gráfico das frequências das 60 dezenas, por que as frequências observadas não são todas iguais a 10%? Esse comportamento é compatível com o modelo equiprovável? Explique.

  2. Algumas dezenas aparecem mais vezes do que outras. Esse fato é incompatível com o modelo de equiprobabilidade?

  3. Como deve ser interpretado o fato de a dezena 26 ter ficado ligeiramente fora da faixa simultânea de referência?

  4. A frequência da dezena 10 foi aproximadamente 11,68%, enquanto o modelo prevê 10%. Essa diferença, isoladamente, fornece evidência contra o modelo?

  5. Uma dezena que não aparece há vários concursos está “atrasada”? Os resultados anteriores alteram sua probabilidade no próximo sorteio?

  6. Por que as distribuições do mínimo e do máximo apresentam formas espelhadas?

  7. Compare a média e o desvio-padrão observados de \(\overline X\) com os respectivos valores previstos pelo modelo. O que essa comparação sugere sobre a adequação do modelo aos dados?

  8. Por que sequências contendo dezenas consecutivas podem parecer improváveis mesmo tendo probabilidade de aproximadamente 42%?

  9. Retome a questão orientadora da atividade: até que ponto as frequências observadas nos resultados históricos da Mega-Sena são compatíveis com as probabilidades previstas pelo modelo equiprovável? Justifique sua resposta utilizando as análises realizadas ao longo da atividade.

  10. Uma aposta de 8 dezenas que contém as seis dezenas sorteadas gera, além de uma Sena, 12 Quinas e 15 Quadras. Explique, utilizando coeficientes binomiais, de onde vêm esses números.

Síntese

Nesta atividade comparamos duas quantidades distintas:

\[ \underbrace{P(A)}_{\text{probabilidade no modelo}} \qquad\text{e}\qquad \underbrace{ \frac{\text{número de concursos em que ocorreu }A} {\text{número total de concursos}} }_{\text{frequência relativa nos dados}}. \]

As probabilidades pertencem ao modelo; as frequências são calculadas a partir dos dados. Em uma sequência finita de sorteios, não se espera que sejam exatamente iguais.

Quando muitas características são examinadas ao mesmo tempo, como as frequências das 60 dezenas, é necessário considerar conjuntamente sua variabilidade. Por isso foi utilizada uma faixa simultânea de referência.

A questão central não é saber se os dados reproduzem exatamente as probabilidades teóricas, mas se as diferenças observadas são plausíveis sob o modelo probabilístico.